Evet, bu soruyu sizin için çözebilirim.

İlk olarak, diferansiyel denklemin karakteristik denklemini yazmamız gerekiyor. Bu, denklemin iki tarafını 0'a eşitleyerek elde edilir:

(t+1)²y''-ty=(t+1)²-t

(t+1)²y''-ty-(t+1)²+t=0

(t+1)²(y''-y-1+t)=0

Bu denklemin kökleri t=-1 ve t=1'dir. Bu kökler tekrarlı olduğundan, diferansiyel denklemin çözümü Taylor serisiyle verilebilir:

y(t)=a_0+a_1(t+1)+a_2(t+1)^2+a_3(t+1)^3+...

Bu seriyi kullanarak denklemimizi yerine koyduğumuzda, aşağıdaki denklemleri elde ederiz:

a_0=1

a_1=-1

a_2=-1

a_3=1

Bu denklemleri çözerek, ilk üç terimi aşağıdaki gibi olan çözümü elde ederiz:

y(t)=1-(t+1)+(t+1)^2-(t+1)^3

Bu çözümü ilk başlangıç koşulu y(-1)=1'e uyguladığımızda, aşağıdaki değeri elde ederiz:

y(-1)=1-(-1+1)+(-1+1)^2-(-1+1)^3

y(-1)=1-0+0-1

y(-1)=1

Bu da ilk başlangıç koşulunun sağlandığını gösterir.

İkinci başlangıç koşulu y'(-1)=0'a uyguladığımızda, aşağıdaki değeri elde ederiz:

y'(-1)=-(-1+1)+(-1+1)^2-(-1+1)^3

y'(-1)=0-0+0-0

y'(-1)=0

Bu da ikinci başlangıç koşulunun sağlandığını gösterir.

Sonuç olarak, diferansiyel denklemin çözümü aşağıdaki gibidir:

y(t)=1-(t+1)+(t+1)^2-(t+1)^3

Bu çözümün ilk üç terimi sırasıyla 1, -1 ve 1'dir.